Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 400

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 400

Пусть функция f(x)f(x) определена в области [a,+∞)[a,+\infty) и ограничена на каждом сегменте [a,b][a,b]. Положим:m(x)=inf⁡a≤ξ≤xf(ξ),M(x)=sup⁡a≤ξ≤xf(ξ).m(x)=\inf_{a\le\xi\le x}f(\xi),
\quad
M(x)=\sup_{a\le\xi\le x}f(\xi).Построить графики функций y=m(x)y=m(x) и y=M(x)y=M(x), если:а) f(x)=sin⁡x;б) f(x)=cos⁡x.\text{а) }f(x)=\sin x;\quad \text{б) }f(x)=\cos x.
ПостроениеДля любого aa функция m(x)m(x) невозрастает и, начиная с
первого минимума синуса или косинуса, расположенного не левее aa,
равна −1-1. Функция M(x)M(x) неубывает и, начиная с первого максимума,
расположенного не левее aa, равна 11. Начальные участки строятся по
приведённым формулам накопленных минимума и максимума.

Построение

При увеличении xx отрезок [a,x][a,x] расширяется. Поэтому нижняя
грань m(x)m(x) может только уменьшаться, а верхняя грань M(x)M(x) —
только увеличиваться. Кроме того, при каждом x⩾ax\geqslant am(x)⩽f(x)⩽M(x),m(a)=M(a)=f(a)m(x)\leqslant f(x)\leqslant M(x),
\qquad
m(a)=M(a)=f(a)Геометрически m(x)m(x) и M(x)M(x) являются соответственно нижней и
верхней накопленными огибающими графика y=f(x)y=f(x). Пока f(x)f(x) не
устанавливает нового наименьшего или наибольшего значения,
соответствующая огибающая остаётся горизонтальной.

В условии число aa не зафиксировано, поэтому начальные участки
графиков зависят от положения aa внутри периода. Сначала дадим
построение для произвольного aa, а на рисунках покажем естественный
частный случай a=0a=0.

Пункт а)

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x.
Обозначим через x+x_+ первый максимум синуса, расположенный не левее
aa, а через x−x_- — первый такой минимумx+=min⁡{π2+2πk:π2+2πk⩾a, k∈Z},x−=min⁡{3π2+2πk:3π2+2πk⩾a, k∈Z}\begin{aligned}
x_+&=\min\left\{\frac\pi2+2\pi k:\quad
\frac\pi2+2\pi k\geqslant a,\ k\in\mathbb Z\right\},\\
x_-&=\min\left\{\frac{3\pi}{2}+2\pi k:\quad
\frac{3\pi}{2}+2\pi k\geqslant a,\ k\in\mathbb Z\right\}
\end{aligned}До точки x+x_+ синус может пройти через один минимум, но ещё не
достигает нового абсолютного максимума 11. Поэтому наибольшее
значение на [a,x][a,x] равно max⁡{sin⁡a,sin⁡x}\max\{\sin a,\sin x\}. Аналогично, до
точки x−x_- функция ещё не достигает нового абсолютного минимума
−1-1, поэтому нижняя грань равна min⁡{sin⁡a,sin⁡x}\min\{\sin a,\sin x\}. Итак, для
произвольного aaM(x)={max⁡{sin⁡a,sin⁡x},a⩽x<x+ ,1,x⩾x+m(x)={min⁡{sin⁡a,sin⁡x},a⩽x<x− ,−1,x⩾x−M(x)=
\begin{cases}
\max\{\sin a,\sin x\}, & a\leqslant x<x_+\,,\\
1, & x\geqslant x_+
\end{cases}
\qquad
m(x)=
\begin{cases}
\min\{\sin a,\sin x\}, & a\leqslant x<x_-\,,\\
-1, & x\geqslant x_-
\end{cases}В частности, при a=0a=0 получаемM(x)={sin⁡x,0⩽x<π2 ,1,x⩾π2m(x)={0,0⩽x⩽π ,sin⁡x,π<x<3π2 ,−1,x⩾3π2M(x)=
\begin{cases}
\sin x, & 0\leqslant x<\dfrac\pi2\,,\\
1, & x\geqslant\dfrac\pi2
\end{cases}
\qquad
m(x)=
\begin{cases}
0, & 0\leqslant x\leqslant\pi\,,\\
\sin x, & \pi<x<\dfrac{3\pi}{2}\,,\\
-1, & x\geqslant\dfrac{3\pi}{2}
\end{cases}

Построение графика

Пунктиром показываем исходную синусоиду. Синяя
линия следует за новыми минимумами и затем остаётся на уровне −1-1;
розовая линия следует за новыми максимумами и после x=π2x=\frac{\pi}{2}
остаётся на уровне 11.график к задаче Демидовича № 400

Пункт б)

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x.

Первый максимум и первый минимум косинуса, расположенные не левее
aa, равныx+=min⁡{2πk:2πk⩾a, k∈Z},x−=min⁡{π+2πk:π+2πk⩾a, k∈Z}\begin{aligned}
x_+&=\min\{2\pi k:2\pi k\geqslant a,\ k\in\mathbb Z\},\\
x_-&=\min\{\pi+2\pi k:\pi+2\pi k\geqslant a,\ k\in\mathbb Z\}
\end{aligned}Те же рассуждения применяются к косинусу: до ближайшего максимума,
расположенного не левее aa, верхняя грань определяется значениями в
концах отрезка, а до ближайшего такого минимума — нижняя. Поэтому
для произвольного aaM(x)={max⁡{cos⁡a,cos⁡x},a⩽x<x+ ,1,x⩾x+m(x)={min⁡{cos⁡a,cos⁡x},a⩽x<x− ,−1,x⩾x−M(x)=
\begin{cases}
\max\{\cos a,\cos x\}, & a\leqslant x<x_+\,,\\
1, & x\geqslant x_+
\end{cases}
\qquad
m(x)=
\begin{cases}
\min\{\cos a,\cos x\}, & a\leqslant x<x_-\,,\\
-1, & x\geqslant x_-
\end{cases}При a=0a=0 начальное значение косинуса уже является абсолютным
максимумом. ПоэтомуM(x)=1,m(x)={cos⁡x,0⩽x<π ,−1,x⩾πM(x)=1,
\qquad
m(x)=
\begin{cases}
\cos x, & 0\leqslant x<\pi\,,\\
-1, & x\geqslant\pi
\end{cases}

Построение графика

Пунктиром показываем исходный косинус. Верхняя
огибающая сразу остаётся на уровне 11, а нижняя сначала совпадает с
убывающей дугой косинуса и после x=πx=\pi остаётся на уровне −1-1.график к задаче Демидовича № 400