Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 429

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 429

lim⁡n→∞1n[(x+an)+(x+2an)+…+(x+(n−1)an)].\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[\left(x+\frac an\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\ldots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)\right].

Решение

Обозначим сумму в квадратных скобках через SnS_n: Sn=(x+an)+(x+2an)+…+(x+(n−1)an).S_n=
\left(x+\frac an\right)
+\left(x+\frac{2a}{n}\right)
+\ldots+
\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right). В этой сумме имеется n−1n-1 слагаемых, содержащих xx, поэтому Sn=(n−1)x+an(1+2+…+n−1).S_n=(n-1)x+\frac{a}{n}(1+2+\ldots+n-1). Используем формулу 1+2+…+(n−1)=n(n−1)2.1+2+\ldots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2. Тогда Sn=(n−1)x+a(n−1)2.S_n=(n-1)x+\frac{a(n-1)}2. Отсюда Snn=n−1nx+a(n−1)2n=(x+a2)n−1n.\frac{S_n}{n}
=
\frac{n-1}{n}x+\frac{a(n-1)}{2n}
=
\left(x+\frac a2\right)\frac{n-1}{n}. Так как n−1n→1,\frac{n-1}{n}\to1, откуда lim⁡n→∞1n[(x+an)+(x+2an)+…+(x+(n−1)an)]=x+a2.\boxed{
\lim_{n\to\infty}\frac1n\left[
\left(x+\frac an\right)
+\left(x+\frac{2a}{n}\right)
+\ldots+
\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)
\right]
=
x+\frac a2
}.
Демидович № 429 — решение