Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 418

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 418

lim⁡x→3x2−5x+6x2−8x+15.\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}.

Решение

Разложим числитель и знаменатель на множители:

x2−5x+6=(x−2)(x−3),x2−8x+15=(x−3)(x−5).x^2-5x+6=(x-2)(x-3),\quad x^2-8x+15=(x-3)(x-5). При x≠3x\neq3 x2−5x+6x2−8x+15=x−2x−5.\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15} = \frac{x-2}{x-5}.При x→3x\to3 имеем x−2→1x-2\to1 и x−5→−2x-5\to-2. Поскольку предел знаменателя не равен нулю, по теореме о пределе отношения получаем lim⁡x→3x−2x−5=1−2=−12.\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x-5}=\frac{1}{-2}=-\frac12.

Проверка

lim⁡x→3x2−5x+6x2−8x+15=−12.\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}=-\frac12.