Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 382

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 382

Если функция

f(x)

определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Привести соответствующие примеры.

Решение

1
Пункт а)
На интервале функция, локально ограниченная в каждой точке, не обязана быть ограниченной на всем интервале.

Например, рассмотрим функцию $f(x)=\frac1x,\quad 0<x<1.$ В каждой точке $x_0\in(0,1)$ можно выбрать достаточно малую окрестность, не содержащую точки $0$ , и на этой окрестности функция будет ограничена. Следовательно, функция локально ограничена в каждой точке интервала $(0,1)$ .

Однако при $x\to0+$ $\frac1x\to+\infty,$ поэтому на всем интервале $(0,1)$ функция не ограничена.
2
Пункт б)
На сегменте $[a,b]$ функция, локально ограниченная в каждой точке, обязательно ограничена.

Действительно, предположим противное. Тогда для каждого натурального $n$ существует точка $x_n\in[a,b]$ такая, что $|f(x_n)|>n.$ Из ограниченности последовательности $\{x_n\}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $x_{n_k}\to x_0$ , причем $x_0\in[a,b]$ .

По условию функция локально ограничена в точке $x_0$ , поэтому существуют окрестность этой точки и число $C>0$ такие, что в этой окрестности $|f(x)|\leq C.$ Но при достаточно больших $k$ точки $x_{n_k}$ лежат в этой окрестности, тогда как $|f(x_{n_k})|>n_k\to+\infty,$ что является противоречием.

Проверка

На сегменте локально ограниченная функция ограничена.