Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 382

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 382

Если функция f(x)f(x) определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте?

Привести соответствующие примеры.

Решение

Пункт а)

На интервале функция, локально ограниченная в каждой точке, не обязана быть ограниченной на всем интервале.

Например, рассмотрим функцию f(x)=1x,0<x<1.f(x)=\frac1x,\quad 0<x<1. В каждой точке x0∈(0,1)x_0\in(0,1) можно выбрать достаточно малую окрестность, не содержащую точки 00, и на этой окрестности функция будет ограничена. Следовательно, функция локально ограничена в каждой точке интервала (0,1)(0,1).

Однако при x→0+x\to0+ 1x→+∞,\frac1x\to+\infty, поэтому на всем интервале (0,1)(0,1) функция не ограничена.

Пункт б)

На сегменте [a,b][a,b] функция, локально ограниченная в каждой точке, обязательно ограничена.

Действительно, предположим противное. Тогда для каждого натурального nn существует точка xn∈[a,b]x_n\in[a,b] такая, что ∣f(xn)∣>n.|f(x_n)|>n. Из ограниченности последовательности {xn}\{x_n\} можно выделить сходящуюся подпоследовательность xnk→x0x_{n_k}\to x_0, причем x0∈[a,b]x_0\in[a,b].

По условию функция локально ограничена в точке x0x_0, поэтому существуют окрестность этой точки и число C>0C>0 такие, что в этой окрестности ∣f(x)∣≤C.|f(x)|\leq C. Но при достаточно больших kk точки xnkx_{n_k} лежат в этой окрестности, тогда как ∣f(xnk)∣>nk→+∞,|f(x_{n_k})|>n_k\to+\infty, что является противоречием.

На сегменте локально ограниченная функция ограничена.