Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 406

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры.

Задача 406

а) lim⁡x→∞f(x)=∞;б) lim⁡x→∞f(x)=−∞;в) lim⁡x→∞f(x)=+∞;г) lim⁡x→−∞f(x)=∞;д) lim⁡x→−∞f(x)=−∞;е) lim⁡x→−∞f(x)=+∞;ж) lim⁡x→+∞f(x)=∞;з) lim⁡x→+∞f(x)=−∞;и) lim⁡x→+∞f(x)=+∞.\begin{array}{ll}
\text{а) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty; &
\text{б) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{в) }\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty; &
\text{г) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty;\\[1mm]
\text{д) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty; &
\text{е) }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty;\\[1mm]
\text{ж) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty; &
\text{з) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty;\\[1mm]
\text{и) }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
\end{array}

Решение

Здесь запись f(x)→∞f(x)\to\infty означает, что ∣f(x)∣|f(x)| становится сколь угодно большим. Все кванторы по xx ниже относятся к области определения функции. Предполагается, что из этой области можно приближаться к указанной точке с нужной стороны или уходить в указанную бесконечность.

Пункт а)

Равенство lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При достаточно больших по модулю xx модуль функции становится больше любого заранее заданного числа EE.

Пример: f(x)=x.f(x)=x.

Пункт б)

Равенство lim⁡x→∞f(x)=−∞\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
f(x)<-E. При достаточно больших по модулю xx функция становится отрицательной и сколь угодно большой по модулю.

Пример: f(x)=−x2.f(x)=-x^2.

Пункт в)

Равенство lim⁡x→∞f(x)=+∞\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:∣x∣>A⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
|x|>A
\Longrightarrow
f(x)>E. При достаточно больших по модулю xx функция становится больше любого положительного числа EE.

Пример: f(x)=x2.f(x)=x^2.

Пункт г)

Равенство lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x<−A⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При достаточно больших по модулю отрицательных xx модуль функции становится сколь угодно большим.

Пример: f(x)=x.f(x)=x.

Пункт д)

Равенство lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x<−A⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
f(x)<-E. При x→−∞x\to-\infty функция становится меньше любого отрицательного числа −E-E.

Пример: f(x)=x.f(x)=x.

Пункт е)

Равенство lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x<−A⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x<-A
\Longrightarrow
f(x)>E. При x→−∞x\to-\infty функция становится больше любого положительного числа EE.

Пример: f(x)=−x.f(x)=-x.

Пункт ж)

Равенство lim⁡x→+∞f(x)=∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x>A⟹∣f(x)∣>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
|f(x)|>E. При достаточно больших положительных xx модуль функции становится сколь угодно большим.

Пример: f(x)=x.f(x)=x.

Пункт з)

Равенство lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x>A⟹f(x)<−E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
f(x)<-E. При x→+∞x\to+\infty функция становится меньше любого отрицательного числа −E-E.

Пример: f(x)=−x.f(x)=-x.

Пункт и)

Равенство lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty означает ∀E>0∃A>0∀x:x>A⟹f(x)>E.\forall E>0\quad
\exists A>0\quad
\forall x:\quad
x>A
\Longrightarrow
f(x)>E. При x→+∞x\to+\infty функция становится больше любого положительного числа EE.

Проверка

Пример: f(x)=x.f(x)=x.