Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 424

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти пределы:

Задача 424

а) lim⁡x→1x+x2+…+xn−nx−1;б) lim⁡x→1x100−2x+1x50−2x+1.\text{а) }\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1};\quad
\text{б) }\lim_{x\to1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}.

Решение

Пункт а)

Представим числитель в виде x+x2+…+xn−n=(x−1)+(x2−1)+…+(xn−1).x+x^2+\ldots+x^n-n = (x-1)+(x^2-1)+\ldots+(x^n-1). Используем формулу xk−1=(x−1)(1+x+…+xk−1).x^k-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{k-1}). Тогда при x≠1x\neq1 x+x2+…+xn−nx−1=1+(1+x)+(1+x+x2)+…+(1+x+…+xn−1).\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}
=
1+(1+x)+(1+x+x^2)+\ldots+(1+x+\ldots+x^{n-1}). При x→1x\to1 каждая из скобок стремится соответственно к 1,2,…,n1,2,\ldots,n. Так как слагаемых конечное число, lim⁡x→1x+x2+…+xn−nx−1=1+2+…+n=n(n+1)2.\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}
=
1+2+\ldots+n
=
\frac{n(n+1)}2.lim⁡x→1x+x2+…+xn−nx−1=n(n+1)2.\lim_{x\to1}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}
=\frac{n(n+1)}2.

Пункт б)

Преобразуем числитель и знаменатель: x100−2x+1=(x100−1)−2(x−1),x^{100}-2x+1=(x^{100}-1)-2(x-1), x50−2x+1=(x50−1)−2(x−1).x^{50}-2x+1=(x^{50}-1)-2(x-1). Используя формулу xk−1=(x−1)(1+x+…+xk−1)x^k-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{k-1}), получаем при x≠1x\neq1 x100−2x+1x50−2x+1=1+x+…+x99−21+x+…+x49−2.\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}
=
\frac{1+x+\ldots+x^{99}-2}
{1+x+\ldots+x^{49}-2}. При x→1x\to1 числитель стремится к 100−2=98100-2=98, а знаменатель – к 50−2=4850-2=48. Поэтому lim⁡x→1x100−2x+1x50−2x+1=9848=4924.\lim_{x\to1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}
=\frac{98}{48}=\frac{49}{24}.