Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 387

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 387

Функция f(x)f(x) определена и монотонно возрастает на сегменте [a,b][a,b]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом сегменте?

Решение

Идея

Так как функция f(x)f(x) монотонно возрастает на сегменте [a,b][a,b], для любого x∈[a,b]x\in[a,b] имеем f(a)≤f(x)≤f(b).f(a)\leq f(x)\leq f(b).
f(a)f(a) является нижней гранью, а f(b)f(b) – верхней гранью функции. Более того, обе грани достигаются в концах сегмента.

Проверка

m[f]=f(a),M[f]=f(b).\boxed{m[f]=f(a),\quad M[f]=f(b)}.