Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1191

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\frac1{\sqrt{1-2x}}

Решение

Запишем функцию в виде степени:

y = (1-2x)^{-1/2}

Найдём первые несколько производных, учитывая производную внутренней функции

(1-2x)' = -2

y' = -\frac{1}{2}(1-2x)^{-3/2} \cdot (-2) = 1 \cdot (1-2x)^{-3/2}

y'' = -\frac{3}{2}(1-2x)^{-5/2} \cdot (-2) = 1 \cdot 3 \cdot (1-2x)^{-5/2}

y''' = 1 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)(1-2x)^{-7/2} \cdot (-2) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (1-2x)^{-7/2}

Индукционный переход сохраняет обнаруженную закономерность: дифференцирование

(1-2x)^{-n-1/2}

добавляет множитель

(-n-1/2)(-2)=2n+1

и понижает степень на

1

. Поэтому при каждом шаге к произведению нечётных чисел добавляется следующее число:

y^{(n)} = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1) \cdot (1-2x)^{-n-1/2}

Используя обозначение двойного факториала, можно записать ответ в компактном виде:

y^{(n)} = \frac{(2n-1)!!}{(1-2x)^{n+1/2}} = \frac{(2n-1)!!}{(1-2x)^n \sqrt{1-2x}}

Проверка

Формулы действуют при

x<1/2