Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1208

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y(n)y^{(n)}, если:

Задача 1208

y=ln⁡a+bxa−bxy=\ln\frac{a+bx}{a-bx}

Решение

Логарифм определён при (a+bx)/(a−bx)>0(a+bx)/(a-bx)>0, то есть a2>b2x2a^2>b^2x^2. Это условие, в частности, исключает a=0a=0.
Разложим логарифм частного в разность логарифмов:y=ln⁡∣a+bx∣−ln⁡∣a−bx∣y = \ln|a+bx| - \ln|a-bx|Найдём первую производную:y′=ba+bx−−ba−bx=b(a+bx)−1+b(a−bx)−1y' = \frac{b}{a+bx} - \frac{-b}{a-bx} = b(a+bx)^{-1} + b(a-bx)^{-1}Для нахождения nn-й производной (n≥1n \ge 1) воспользуемся известной формулой для производной nn-го порядка функции f(x)=(kx+m)−1f(x) = (kx+m)^{-1}, которая равна f(n)(x)=(−1)nn!kn(kx+m)−n−1f^{(n)}(x) = (-1)^n n! k^n (kx+m)^{-n-1}.
Применим это правило к нашей первой производной, дифференцируя её ещё n−1n-1 раз.
Для первого слагаемого b(a+bx)−1b(a+bx)^{-1}:(b(a+bx)−1)(n−1)=b(−1)n−1(n−1)!bn−1(a+bx)−n=(−1)n−1(n−1)!bn(a+bx)−n\left( b(a+bx)^{-1} \right)^{(n-1)} = b (-1)^{n-1} (n-1)! b^{n-1} (a+bx)^{-n} = (-1)^{n-1} (n-1)! b^n (a+bx)^{-n}Для второго слагаемого b(a−bx)−1b(a-bx)^{-1}:(b(a−bx)−1)(n−1)=b(−1)n−1(n−1)!(−b)n−1(a−bx)−n=(−1)n−1(−1)n−1(n−1)!bn(a−bx)−n\left( b(a-bx)^{-1} \right)^{(n-1)} = b (-1)^{n-1} (n-1)! (-b)^{n-1} (a-bx)^{-n} = (-1)^{n-1}(-1)^{n-1} (n-1)! b^n (a-bx)^{-n}Поскольку (−1)2n−2=1(-1)^{2n-2} = 1, получаем:(b(a−bx)−1)(n−1)=(n−1)!bn(a−bx)−n\left( b(a-bx)^{-1} \right)^{(n-1)} = (n-1)! b^n (a-bx)^{-n}Складывая полученные производные, записываем итоговый ответ:y(n)=(n−1)!bn[(−1)n−1(a+bx)n+1(a−bx)n]y^{(n)} = (n-1)! b^n \left[ \frac{(-1)^{n-1}}{(a+bx)^n} + \frac{1}{(a-bx)^n} \right]

Проверка

При b=0b=0, a≠0a\ne0 имеем y=ln⁡1=0y=\ln1=0; все производные равны нулю. Для b≠0b\ne0 приведённые вычисления действуют на всей указанной области.
Демидович № 1208 — решение | Высшая математика — Профиматика