Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1183

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, а

\lambda_1,\lambda_2

— постоянные, удовлетворяет уравнению

y''-(\lambda_1+\lambda_2)y'+\lambda_1\lambda_2y=0.

Решение

Вычислим первую и вторую производные заданной функции по переменной

x

y' = C_1\lambda_1e^{\lambda_1x} + C_2\lambda_2e^{\lambda_2x}

y'' = C_1\lambda_1^2e^{\lambda_1x} + C_2\lambda_2^2e^{\lambda_2x}

Подставим

y

y'

y''

в левую часть проверяемого уравнения

C_1\lambda_1^2e^{\lambda_1x} + C_2\lambda_2^2e^{\lambda_2x} - (\lambda_1+\lambda_2)(C_1\lambda_1e^{\lambda_1x} + C_2\lambda_2e^{\lambda_2x}) + \lambda_1\lambda_2(C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x})

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при

C_1e^{\lambda_1x}

C_2e^{\lambda_2x}

C_1e^{\lambda_1x}(\lambda_1^2 - \lambda_1^2 - \lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_2) + C_2e^{\lambda_2x}(\lambda_2^2 - \lambda_1\lambda_2 - \lambda_2^2 + \lambda_1\lambda_2)

Выражения в обеих скобках тождественно равны нулю

C_1e^{\lambda_1x} \cdot 0 + C_2e^{\lambda_2x} \cdot 0 = 0

Уравнение выполняется.