Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1195

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\sin^3x

Решение

Идея

Воспользуемся формулой синуса тройного угла

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

. Выразим отсюда

\sin^3 x

y = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x

Применим формулу

n

-й производной

(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

к каждому слагаемому:

y^{(n)} = \frac{3}{4} \cdot 1^n \sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{4} \cdot 3^n \sin\left(3x + \frac{\pi n}{2}\right)

Окончательно:

y^{(n)} = \frac{3}{4} \sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{3^n}{4} \sin\left(3x + \frac{\pi n}{2}\right)