Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1195

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y(n)y^{(n)}, если:

Задача 1195

y=sin⁡3xy=\sin^3x

Решение

Воспользуемся формулой синуса тройного угла sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x. Выразим отсюда sin⁡3x\sin^3 x:
y=3sin⁡x−sin⁡3x4=34sin⁡x−14sin⁡3xy = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3xПрименим формулу nn-й производной (sin⁡kx)(n)=knsin⁡(kx+πn2)(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right) к каждому слагаемому:y(n)=34⋅1nsin⁡(x+πn2)−14⋅3nsin⁡(3x+πn2)y^{(n)} = \frac{3}{4} \cdot 1^n \sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{4} \cdot 3^n \sin\left(3x + \frac{\pi n}{2}\right)Окончательно:y(n)=34sin⁡(x+πn2)−3n4sin⁡(3x+πn2)y^{(n)} = \frac{3}{4} \sin\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{3^n}{4} \sin\left(3x + \frac{\pi n}{2}\right)