Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1196

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\cos^3x

Решение

Воспользуемся формулой косинуса тройного угла

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

. Выразим

\cos^3 x

y = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} = \frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x

Применим формулу

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

к каждому слагаемому:

y^{(n)} = \frac{3}{4} \cos\left(x + \frac{\pi n}{2}\right) + \frac{3^n}{4} \cos\left(3x + \frac{\pi n}{2}\right)