Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1173

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x\cos 2x;

найти

d^{10}y

Решение

Идея

Применим формулу Лейбница для нахождения десятой производной произведения

u = x

v = \cos 2x

y^{(10)} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} u^{(k)} v^{(10-k)}

Поскольку

u = x

, отличны от нуля только

u^{(0)} = x

u^{(1)} = 1

. Сумма сокращается до двух слагаемых:

y^{(10)} = x v^{(10)} + 10 \cdot 1 \cdot v^{(9)}

Вспомним, что

n

-я производная косинуса равна

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

. Найдём нужные нам производные:

v^{(10)} = 2^{10} \cos\left(2x + \frac{10\pi}{2}\right) = 1024 \cos(2x + 5\pi) = -1024 \cos 2x

v^{(9)} = 2^9 \cos\left(2x + \frac{9\pi}{2}\right) = 512 \cos\left(2x + 4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -512 \sin 2x

Тогда десятая производная функции

y

равна:

y^{(10)} = x (-1024 \cos 2x) + 10 (-512 \sin 2x) = -1024 x \cos 2x - 5120 \sin 2x

Дифференциал десятого порядка:

d^{10}y = -1024 (x \cos 2x + 5 \sin 2x) \, dx^{10}