Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1181

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

y=C_1\cos x+C_2\sin x

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

y''+y=0.

Решение

Найдём первую и вторую производные заданной функции

y' = -C_1\sin x + C_2\cos x

y'' = -C_1\cos x - C_2\sin x

Вынесем знак минуса за скобки во второй производной

y'' = -(C_1\cos x + C_2\sin x)

Заметим, что выражение в скобках в точности равно исходной функции

y

, следовательно

y'' = -y

Перенося

y

в левую часть, получаем искомое уравнение

y'' + y = 0