Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1177

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти дифференциал указанного порядка, если

u

— функция от

x

, дифференцируемая достаточное число раз:

y=e^u;

найти

d^4y

Решение

Найдём дифференциалы последовательно, учитывая, что

d(d^n u) = d^{n+1} u

и применяя правила дифференцирования произведения:

dy = e^u du

d^2y = d(e^u du) = d(e^u)du + e^u d(du) = e^u (du)^2 + e^u d^2u = e^u(du^2 + d^2u)

Найдём третий дифференциал:

\displaystyle d^3y\mathrel{=}

Найдём четвёртый дифференциал:

\displaystyle d^4y\mathrel{=}