Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1170

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\sin^2x\ln x;

найти

y^{(6)}

Решение

Сначала понизим степень синуса:

y = \frac{1 - \cos 2x}{2} \ln x = \frac{1}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cos 2x \ln x

Найдём шестую производную для первого слагаемого

\frac{1}{2} \ln x

\left( \frac{1}{2} \ln x \right)^{(6)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^5 5!}{x^6} = -\frac{60}{x^6}

Для второго слагаемого применим формулу Лейбница к произведению

u = \cos 2x

v = \ln x

.
Производные

u

\begin{aligned}u^{(0)} &= \cos 2x, \quad u^{(1)} = -2\sin 2x, \quad u^{(2)} = -4\cos 2x, \quad u^{(3)} = 8\sin 2x, \\u^{(4)} &= 16\cos 2x, \quad u^{(5)} = -32\sin 2x, \quad u^{(6)} = -64\cos 2x\end{aligned}

Производные

v

\begin{aligned}v^{(0)} &= \ln x, \quad v^{(1)} = x^{-1}, \quad v^{(2)} = -x^{-2}, \quad v^{(3)} = 2x^{-3}, \\v^{(4)} &= -6x^{-4}, \quad v^{(5)} = 24x^{-5}, \quad v^{(6)} = -120x^{-6}\end{aligned}

Нужные коэффициенты равны

\binom60=1

\binom61=6

\binom62=6\cdot5/2=15

\binom63=6\cdot5\cdot4/(1\cdot2\cdot3)=20

; остальные получаются по симметрии. По формуле Лейбница

(uv)^{(6)} = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} u^{(6-k)} v^{(k)}

\begin{aligned}(uv)^{(6)} &= 1 \cdot (-64\cos 2x) \cdot \ln x \\&\quad + 6 \cdot (-32\sin 2x) \cdot (x^{-1}) \\&\quad + 15 \cdot (16\cos 2x) \cdot (-x^{-2}) \\&\quad + 20 \cdot (8\sin 2x) \cdot (2x^{-3}) \\&\quad + 15 \cdot (-4\cos 2x) \cdot (-6x^{-4}) \\&\quad + 6 \cdot (-2\sin 2x) \cdot (24x^{-5}) \\&\quad + 1 \cdot (\cos 2x) \cdot (-120x^{-6})\end{aligned}

Упрощаем:

(uv)^{(6)} = -64 \cos 2x \ln x - 192 \frac{\sin 2x}{x} - 240 \frac{\cos 2x}{x^2} + 320 \frac{\sin 2x}{x^3} + 360 \frac{\cos 2x}{x^4} - 288 \frac{\sin 2x}{x^5} - 120 \frac{\cos 2x}{x^6}

Теперь соберём полную шестую производную исходной функции:

y^{(6)} = -\frac{60}{x^6} - \frac{1}{2} (uv)^{(6)}

Подставляем и раскрываем скобки:

y^{(6)} = -\frac{60}{x^6} + 32 \cos 2x \ln x + 96 \frac{\sin 2x}{x} + 120 \frac{\cos 2x}{x^2} - 160 \frac{\sin 2x}{x^3} - 180 \frac{\cos 2x}{x^4} + 144 \frac{\sin 2x}{x^5} + 60 \frac{\cos 2x}{x^6}

Сгруппируем слагаемые с

x^{-6}

-\frac{60}{x^6} + 60 \frac{\cos 2x}{x^6} = -60 \frac{1 - \cos 2x}{x^6} = -120 \frac{\sin^2 x}{x^6}

Окончательный ответ:

y^{(6)} = 32 \cos 2x \ln x + 96 \frac{\sin 2x}{x} + 120 \frac{\cos 2x}{x^2} - 160 \frac{\sin 2x}{x^3} - 180 \frac{\cos 2x}{x^4} + 144 \frac{\sin 2x}{x^5} - 120 \frac{\sin^2 x}{x^6}

Проверка

Формулы применяются при

x>0