Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1197

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\sin ax\sin bx

Решение

Преобразуем произведение синусов в разность косинусов по тригонометрической формуле:

y = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b)x - \cos(a+b)x \right]

Применим формулу

n

-й производной косинуса

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

y^{(n)} = \frac{1}{2} (a-b)^n \cos\left((a-b)x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{2} (a+b)^n \cos\left((a+b)x + \frac{\pi n}{2}\right)