Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1197

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1197

y=sin⁡axsin⁡bxy=\sin ax\sin bx

Решение

Идея

Преобразуем произведение синусов в разность косинусов по тригонометрической формуле:
y=12[cos⁡(a−b)x−cos⁡(a+b)x]y = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b)x - \cos(a+b)x \right]Применим формулу nn-й производной косинуса (cos⁡kx)(n)=kncos⁡(kx+πn2)(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right):y(n)=12(a−b)ncos⁡((a−b)x+πn2)−12(a+b)ncos⁡((a+b)x+πn2)y^{(n)} = \frac{1}{2} (a-b)^n \cos\left((a-b)x + \frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{2} (a+b)^n \cos\left((a+b)x + \frac{\pi n}{2}\right)
Демидович № 1197 — решение