Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1209

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

Задача 1209

y=e^{ax}P(x)

где

P(x)

— многочлен.

Решение

Применим формулу Лейбница для производной произведения двух функций

u = P(x)

v = e^{ax}

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

Производные показательной функции имеют вид

v^{(n-k)} = a^{n-k} e^{ax}

.
Подставим это в разложение Лейбница:

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(k)}(x) a^{n-k} e^{ax}

Вынесем общий множитель

e^{ax}

за знак суммы:

y^{(n)} = e^{ax} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} P^{(k)}(x)

Так как

P(x)

— многочлен, его производные, начиная с некоторого порядка, равны нулю, поэтому сумма содержит конечное число ненулевых слагаемых (не более чем степень многочлена плюс один, либо обрывается на

k=n

Проверка

Если

a=0

, то

y=P(x)

y^{(n)}=P^{(n)}(x)

. Этот случай можно вычислить непосредственно, без степеней нулевого параметра.