Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1175

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\cos x\cdot\operatorname{ch}x;

найти

d^6y

Решение

Идея

Найдём производные функции последовательным дифференцированием:

y' = -\sin x \operatorname{ch} x + \cos x \operatorname{sh} x

Найдём вторую производную:

y''\mathrel{=}

Третья производная:

y''' = -2(\cos x \operatorname{sh} x + \sin x \operatorname{ch} x)

Четвёртая производная:

y^{(4)}\mathrel{=}

Заметим, что

y^{(4)} = -4y

. Это позволяет легко найти шестую производную:

y^{(6)} = (y^{(4)})'' = (-4y)'' = -4y'' = -4(-2\sin x \operatorname{sh} x) = 8\sin x \operatorname{sh} x

Тогда дифференциал шестого порядка равен:

d^6y = 8\sin x \operatorname{sh} x \, dx^6