Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1175

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Считая xx независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка:

Задача 1175

y=cos⁡x⋅ch⁡x;y=\cos x\cdot\operatorname{ch}x;найти d6yd^6y

Решение

Найдём производные функции последовательным дифференцированием:
y′=−sin⁡xch⁡x+cos⁡xsh⁡xy' = -\sin x \operatorname{ch} x + \cos x \operatorname{sh} xНайдём вторую производную:y′′=\displaystyle y''\mathrel{=}(−cos⁡xch⁡x−sin⁡xsh⁡x)+(−sin⁡xsh⁡x+cos⁡xch⁡x)=\displaystyle (-\cos x \operatorname{ch} x - \sin x \operatorname{sh} x) + (-\sin x \operatorname{sh} x + \cos x \operatorname{ch} x)\mathrel{=}−2sin⁡xsh⁡x\displaystyle -2\sin x \operatorname{sh} xТретья производная:y′′′=−2(cos⁡xsh⁡x+sin⁡xch⁡x)y''' = -2(\cos x \operatorname{sh} x + \sin x \operatorname{ch} x)Четвёртая производная:y(4)=\displaystyle y^{(4)}\mathrel{=}−2(−sin⁡xsh⁡x+cos⁡xch⁡x+cos⁡xch⁡x+sin⁡xsh⁡x)=\displaystyle -2(-\sin x \operatorname{sh} x + \cos x \operatorname{ch} x + \cos x \operatorname{ch} x + \sin x \operatorname{sh} x)\mathrel{=}−4cos⁡xch⁡x\displaystyle -4\cos x \operatorname{ch} xЗаметим, что y(4)=−4yy^{(4)} = -4y. Из этого тождества непосредственно находим шестую производную:y(6)=(y(4))′′=(−4y)′′=−4y′′=−4(−2sin⁡xsh⁡x)=8sin⁡xsh⁡xy^{(6)} = (y^{(4)})'' = (-4y)'' = -4y'' = -4(-2\sin x \operatorname{sh} x) = 8\sin x \operatorname{sh} xТогда дифференциал шестого порядка равен:d6y=8sin⁡xsh⁡x dx6d^6y = 8\sin x \operatorname{sh} x \, dx^6
Демидович № 1175 — решение | Высшая математика — Профиматика