Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1202

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=x\cos ax

Решение

Применим формулу Лейбница для производной произведения двух функций

u = x

v = \cos ax

.
Поскольку

u = x

— многочлен первой степени, в сумме Лейбница останутся только два ненулевых слагаемых:

y^{(n)} = x v^{(n)} + n \cdot 1 \cdot v^{(n-1)}

Производная

k

-го порядка функции

v = \cos ax

равна

v^{(k)} = a^k \cos\left(ax + \frac{\pi k}{2}\right)

. Следовательно:

v^{(n)} = a^n \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

v^{(n-1)} = a^{n-1} \cos\left(ax + \frac{\pi (n-1)}{2}\right) = a^{n-1} \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = a^{n-1} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

Подставим эти выражения в формулу Лейбница:

y^{(n)} = x a^n \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) + n a^{n-1} \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right)

Вынесем общий множитель

a^{n-1}

y^{(n)} = a^{n-1} \left[ ax \cos\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) + n \sin\left(ax + \frac{\pi n}{2}\right) \right]

Проверка

Выведенная форма с вынесенным

a^{n-1}

относится к

a\ne0

. При

a=0

исходная функция равна

x

, поэтому

y'=1

, а

y^{(n)}=0

при

n\geqslant2