Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1180

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1180

Выразить производные y′′y'' и y′′′y''' от функции y=f(x)y=f(x) через последовательные дифференциалы переменных xx, yy, не предполагая xx независимой переменной.

Решение

Найдём производную y′=dydxy' = \frac{dy}{dx}. По определению вторая производная — это производная по xx от первой производной:
y′′=ddx(y′)=d(dydx)dxy'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}Дифференциал дроби d(dydx)d\left(\frac{dy}{dx}\right) равен:d(dydx)=d(dy)⋅dx−dy⋅d(dx)dx2=d2y dx−dy d2xdx2d\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d(dy) \cdot dx - dy \cdot d(dx)}{dx^2} = \frac{d^2y \, dx - dy \, d^2x}{dx^2}Разделим полученное выражение на dxdx:y′′=dx d2y−dy d2xdx3y'' = \frac{dx \, d^2y - dy \, d^2x}{dx^3}Теперь найдём третью производную как производную от второй:y′′′=ddx(y′′)=d(dx d2y−dy d2xdx3)dxy''' = \frac{d}{dx}(y'') = \frac{d\left(\frac{dx \, d^2y - dy \, d^2x}{dx^3}\right)}{dx}Обозначим числитель N=dx d2y−dy d2xN = dx \, d^2y - dy \, d^2x. Найдём его дифференциал:dN=\displaystyle dN\mathrel{=}d(dx d2y)−d(dy d2x)=\displaystyle d(dx \, d^2y) - d(dy \, d^2x)\mathrel{=}(d2x d2y+dx d3y)−(d2y d2x+dy d3x)=\displaystyle (d^2x \, d^2y + dx \, d^3y) - (d^2y \, d^2x + dy \, d^3x)\mathrel{=}dx d3y−dy d3x\displaystyle dx \, d^3y - dy \, d^3xТогда дифференциал дроби Ndx3\frac{N}{dx^3} будет равен:d(Ndx3)=dN⋅dx3−N⋅d(dx3)dx6=dN⋅dx3−N⋅3dx2 d2xdx6=dN⋅dx−3N d2xdx4d\left( \frac{N}{dx^3} \right) = \frac{dN \cdot dx^3 - N \cdot d(dx^3)}{dx^6} = \frac{dN \cdot dx^3 - N \cdot 3dx^2 \, d^2x}{dx^6} = \frac{dN \cdot dx - 3N \, d^2x}{dx^4}Для y′′′y''' делим этот дифференциал ещё на dxdx: знаменатель становится (dx)5(dx)^5. Подставим обратно выражения для NN и dNdN:y′′′=\displaystyle y'''\mathrel{=}(dx d3y−dy d3x)dx−3(dx d2y−dy d2x)d2xdx5=\displaystyle \frac{(dx \, d^3y - dy \, d^3x) dx - 3(dx \, d^2y - dy \, d^2x) d^2x}{dx^5}\mathrel{=}dx2 d3y−dx dy d3x−3dx d2x d2y+3dy(d2x)2dx5\displaystyle \frac{dx^2 \, d^3y - dx \, dy \, d^3x - 3dx \, d^2x \, d^2y + 3dy (d^2x)^2}{dx^5}

Проверка

Здесь dx=xt′ dtdx=x'_t\,dt, и отношения понимаются после сокращения одинаковых степеней dtdt при xt′≠0x'_t\ne0. В записи dxkdx^k имеется в виду (dx)k(dx)^k, а dkxd^kx обозначает дифференциал порядка kk; это разные величины.