Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1180

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Выразить производные

y''

y'''

от функции

y=f(x)

через последовательные дифференциалы переменных

x

y

, не предполагая

x

независимой переменной.

Решение

Идея

Найдём производную

y' = \frac{dy}{dx}

. По определению вторая производная — это производная по

x

от первой производной:

y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}

Дифференциал дроби

d\left(\frac{dy}{dx}\right)

равен:

d\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d(dy) \cdot dx - dy \cdot d(dx)}{dx^2} = \frac{d^2y \, dx - dy \, d^2x}{dx^2}

Разделим полученное выражение на

dx

y'' = \frac{dx \, d^2y - dy \, d^2x}{dx^3}

Теперь найдём третью производную как производную от второй:

y''' = \frac{d}{dx}(y'') = \frac{d\left(\frac{dx \, d^2y - dy \, d^2x}{dx^3}\right)}{dx}

Обозначим числитель

N = dx \, d^2y - dy \, d^2x

. Найдём его дифференциал:

dN\mathrel{=}

Тогда дифференциал дроби

\frac{N}{dx^3}

будет равен:

d\left( \frac{N}{dx^3} \right) = \frac{dN \cdot dx^3 - N \cdot d(dx^3)}{dx^6} = \frac{dN \cdot dx^3 - N \cdot 3dx^2 \, d^2x}{dx^6} = \frac{dN \cdot dx - 3N \, d^2x}{dx^5}

Подставим обратно выражения для

N

dN

y'''\mathrel{=}