Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1178

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти дифференциал указанного порядка, если

u

— функция от

x

, дифференцируемая достаточное число раз:

y=\ln u;

найти

d^3y

Решение

Последовательно находим дифференциалы функции

y = \ln u

.
Первый дифференциал:

dy = \frac{du}{u} = u^{-1} du

Второй дифференциал, применяя правило дифференцирования произведения:

d^2y = d(u^{-1} du) = d(u^{-1})du + u^{-1}d(du) = -u^{-2} du \cdot du + u^{-1} d^2u = -u^{-2} du^2 + u^{-1} d^2u

Приведём к общему знаменателю:

d^2y = \frac{u \, d^2u - du^2}{u^2}

Третий дифференциал удобнее искать из формы с отрицательными степенями:

\displaystyle d^3y\mathrel{=}

Запишем ответ в виде дроби:

d^3y = \frac{2du^3 - 3u \, du \, d^2u + u^2 d^3u}{u^3}

Проверка

Формулы применяются при

u>0