Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1161

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x^2e^{2x};

найти

y^{(20)}

Решение

Идея

Воспользуемся формулой Лейбница для производной произведения

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

Положим

u = x^2

v = e^{2x}

. Так как

u

— многочлен второй степени, все его производные начиная с третьей равны нулю. Поэтому в сумме останутся только три первых слагаемых

y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 (e^{2x})^{(n)} + \binom{n}{1} (x^2)' (e^{2x})^{(n-1)} + \binom{n}{2} (x^2)'' (e^{2x})^{(n-2)}

Учитывая, что

(e^{2x})^{(k)} = 2^k e^{2x}

u' = 2x

u'' = 2

, получаем общее выражение

y^{(n)} = x^2 2^n e^{2x} + n \cdot 2x \cdot 2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot 2^{n-2} e^{2x}

Вынесем общий множитель

2^n e^{2x}

y^{(n)} = 2^n e^{2x} \left( x^2 + nx + \frac{n(n-1)}{4} \right)

Подставим

n = 20

y^{(20)} = 2^{20} e^{2x} \left( x^2 + 20x + \frac{20 \cdot 19}{4} \right) = 2^{20} e^{2x} (x^2 + 20x + 95)