Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1206

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=e^x\cos x

Решение

Найдём первую производную функции:

y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)

Вынесем множитель

\sqrt{2}

и применим формулу косинуса суммы:

y' = \sqrt{2} e^x \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x \right) = \sqrt{2} e^x \left( \cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^x \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Очевидно, что каждое дифференцирование приводит к умножению функции на

\sqrt{2}

и прибавлению к аргументу косинуса угла

\frac{\pi}{4}

. По методу математической индукции легко показать, что для

n

-й производной формула примет вид:

y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos\left(x + \frac{\pi n}{4}\right) = 2^{n/2} e^x \cos\left(x + \frac{\pi n}{4}\right)