Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1206

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=e^x\cos x

Решение

Найдём первую производную функции:

y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)

Вынесем множитель

\sqrt{2}

и применим формулу косинуса суммы:

y' = \sqrt{2} e^x \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x \right) = \sqrt{2} e^x \left( \cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^x \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Для любого постоянного

\beta

то же вычисление даёт

(e^x\cos(x+\beta))'=e^x(\cos(x+\beta)-\sin(x+\beta)) =\sqrt2e^x\cos(x+\beta+\pi/4).

Поэтому если на шаге

n

коэффициент равен

(\sqrt2)^n

, а сдвиг —

n\pi/4

, на следующем шаге получаются

(\sqrt2)^{n+1}

(n+1)\pi/4

. База

n=1

уже проверена. Индукция даёт:

y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos\left(x + \frac{\pi n}{4}\right) = 2^{n/2} e^x \cos\left(x + \frac{\pi n}{4}\right)