Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1199

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\sin ax\cos bx

Решение

Преобразуем произведение синуса и косинуса в сумму синусов по тригонометрической формуле:

y = \frac{1}{2} \left[ \sin(a+b)x + \sin(a-b)x \right]

Применим формулу

n

-й производной синуса

(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

y^{(n)} = \frac{1}{2} (a+b)^n \sin\left((a+b)x + \frac{\pi n}{2}\right) + \frac{1}{2} (a-b)^n \sin\left((a-b)x + \frac{\pi n}{2}\right)