Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1199

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1199

y=sin⁡axcos⁡bxy=\sin ax\cos bx

Решение

Идея

Преобразуем произведение синуса и косинуса в сумму синусов по тригонометрической формуле:
y=12[sin⁡(a+b)x+sin⁡(a−b)x]y = \frac{1}{2} \left[ \sin(a+b)x + \sin(a-b)x \right]Применим формулу nn-й производной синуса (sin⁡kx)(n)=knsin⁡(kx+πn2)(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right):y(n)=12(a+b)nsin⁡((a+b)x+πn2)+12(a−b)nsin⁡((a−b)x+πn2)y^{(n)} = \frac{1}{2} (a+b)^n \sin\left((a+b)x + \frac{\pi n}{2}\right) + \frac{1}{2} (a-b)^n \sin\left((a-b)x + \frac{\pi n}{2}\right)
Демидович № 1199 — решение | Высшая математика — Профиматика