Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1193

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\sin^2x

Решение

Используем формулу понижения степени для синуса:

y = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x

При вычислении

n

-й производной (

n \ge 1

) производная константы

\frac{1}{2}

равна нулю. Остаётся найти

n

-ю производную функции

\cos 2x

.
Известно, что

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

. Следовательно:

(\cos 2x)^{(n)} = 2^n \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right)

Подставляем это в выражение для функции:

y^{(n)} = -\frac{1}{2} \cdot 2^n \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right) = -2^{n-1} \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right)