Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1179

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

d^2y

d^3y

d^4y

от функции

y=f(x)

, считая

x

функцией от некоторой независимой переменной.

Решение

Пусть

x=x(t)

, где

t

— независимая переменная. Тогда

dx=x'(t)\,dt

может зависеть от

t

, и дифференциалы

d^2x,d^3x,\ldots

нельзя заранее считать нулевыми. Предполагаем, что обе функции имеют необходимые производные. Дифференцируем последовательно, сохраняя все слагаемые.

dy = f'(x) dx

Второй дифференциал:

d^2y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + f'(x) d(dx) = f''(x) dx^2 + f'(x) d^2x

Третий дифференциал:

\displaystyle d^3y\mathrel{=}

Четвёртый дифференциал:

\begin{aligned}d^4y &= d(f'''(x) dx^3 + 3f''(x) dx \, d^2x + f'(x) d^3x) \\&= f^{(4)}(x) dx^4 + f'''(x) \cdot 3dx^2 \, d^2x \\&\quad + 3f'''(x) dx \cdot dx \, d^2x + 3f''(x) d(dx \, d^2x) \\&\quad + f''(x) dx \, d^3x + f'(x) d^4x\end{aligned}

Распишем

d(dx \, d^2x) = d^2x \cdot d^2x + dx \, d^3x = (d^2x)^2 + dx \, d^3x

. Подставим это обратно и приведём подобные:

\begin{aligned}d^4y &= f^{(4)}(x) dx^4 + 3f'''(x) dx^2 \, d^2x + 3f'''(x) dx^2 \, d^2x \\&\quad + 3f''(x) (d^2x)^2 + 3f''(x) dx \, d^3x + f''(x) dx \, d^3x + f'(x) d^4x \\&= f^{(4)}(x) dx^4 + 6f'''(x) dx^2 \, d^2x + 4f''(x) dx \, d^3x + 3f''(x) (d^2x)^2 + f'(x) d^4x\end{aligned}