Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1167

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\sin x\sin 2x\sin 3x;

найти

y^{(10)}

Решение

Сначала линеаризуем заданную функцию (преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму).
Воспользуемся формулой

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))

\sin x \sin 2x = \frac{1}{2} (\cos(-x) - \cos 3x) = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)

Тогда:

y = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x) \sin 3x = \frac{1}{2} \cos x \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x \sin 3x

Применим формулы

\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))

\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha

y = \frac{1}{4} (\sin 4x + \sin 2x) - \frac{1}{4} \sin 6x = \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x - \frac{1}{4} \sin 6x

Напомним, что

n

-я производная синуса равна

(\sin kx)^{(n)} = k^n \sin\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

. Для

n = 10

(\sin kx)^{(10)} = k^{10} \sin(kx + 5\pi) = -k^{10} \sin kx

Применим это правило к каждому слагаемому:

y^{(10)} = \frac{1}{4} \left( -2^{10} \sin 2x \right) + \frac{1}{4} \left( -4^{10} \sin 4x \right) - \frac{1}{4} \left( -6^{10} \sin 6x \right)

Упростим коэффициенты:

\begin{aligned}\frac{1}{4} 2^{10} &= 2^8 = 256 \\\frac{1}{4} 4^{10} &= 4^9 = 2^{18} = 262144 \\\frac{1}{4} 6^{10} &= \frac{1}{4} 2^{10} 3^{10} = 2^8 3^{10} = 256 \cdot 59049\end{aligned}

Большой коэффициент проверяется так:

3^{10}=(3^5)^2=(9\cdot27)^2=243^2=(240+3)^2=57600+1440+9=59049.

Кроме того,

2^{18}=2^8\cdot2^{10}=256\cdot1024=262144

. Теперь вынесем

256

за скобки:

y^{(10)} = -256 \sin 2x - 262144 \sin 4x + 256 \cdot 59049 \sin 6x = 256 \left( -\sin 2x - 1024 \sin 4x + 59049 \sin 6x \right)