Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1189

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\frac1{x(1-x)}

Решение

Разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей:

y = \frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} = x^{-1} + (1-x)^{-1}

Найдём

n

-е производные каждого слагаемого отдельно. Для

x^{-1}

имеем:

(x^{-1})^{(n)} = (-1)^n n! x^{-n-1} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}

Для

(1-x)^{-1}

при каждом дифференцировании появляется множитель

(-1)

от внутренней функции

1-x

, который компенсирует знак минуса от степени:

((1-x)^{-1})' = -(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2}

((1-x)^{-1})'' = -2(1-x)^{-3}(-1) = 2!(1-x)^{-3}

В общем виде:

((1-x)^{-1})^{(n)} = n!(1-x)^{-n-1} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}

Тогда

n

-я производная исходной функции равна сумме

n

-х производных слагаемых:

y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} + \frac{n!}{(1-x)^{n+1}} = n! \left( \frac{(-1)^n}{x^{n+1}} + \frac{1}{(1-x)^{n+1}} \right)

Проверка

Формулы действуют при

x\notin\{0,1\}