Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1192

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\frac{x}{\sqrt[3]{1+x}}

Решение

Представим функцию в виде произведения

y = x(1+x)^{-1/3}

и воспользуемся формулой Лейбница для нахождения

n

-й производной:

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

Положим

u = x

v = (1+x)^{-1/3}

. Поскольку

u

— многочлен первой степени, отличны от нуля только

u^{(0)} = x

u^{(1)} = 1

. Тогда для

n \ge 1

сумма содержит лишь два ненулевых слагаемых:

y^{(n)} = x v^{(n)} + n v^{(n-1)}

Выведем формулу для

k

-й производной функции

v = (1+x)^{-1/3}

v^{(1)} = -\frac{1}{3}(1+x)^{-4/3}

v^{(2)} = -\frac{1}{3} \left(-\frac{4}{3}\right)(1+x)^{-7/3} = (-1)^2 \frac{1 \cdot 4}{3^2}(1+x)^{-7/3}

v^{(k)} = (-1)^k \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \dots (3k-2)}{3^k} (1+x)^{-k-1/3}

Подставим

v^{(n)}

v^{(n-1)}

в выражение для

y^{(n)}

\begin{aligned}y^{(n)} &= x (-1)^n \frac{1 \cdot 4 \dots (3n-2)}{3^n} (1+x)^{-n-1/3} \\&\quad + n (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 4 \dots (3n-5)}{3^{n-1}} (1+x)^{-n+2/3}\end{aligned}

Вынесем общий множитель

(-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 4 \dots (3n-5)}{3^n} (1+x)^{-n-1/3}

за скобки:

y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 4 \dots (3n-5)}{3^n} (1+x)^{-n-1/3} \Big[ -x(3n-2) + n \cdot 3(1+x) \Big]

Упростим выражение в квадратных скобках:

-3nx + 2x + 3n + 3nx = 3n + 2x

Окончательно получаем:

y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 4 \dots (3n-5)}{3^n} (3n + 2x) (1+x)^{-n-1/3}

Проверка

Область определения —

x\ne-1

; дробные степени понимаются через вещественный кубический корень. Произведение в окончательном коэффициенте можно записать точно как

\prod_{k=0}^{n-2}(3k+1)

. При

n=1

это пустое произведение, равное

1

, и ответ даёт

y'=\frac{3+2x}{3(1+x)^{4/3}},

что совпадает с прямым дифференцированием

x(1+x)^{-1/3}