Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1201

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1201

y=sin⁡4x+cos⁡4xy=\sin^4x+\cos^4x

Решение

Идея

Сначала преобразуем функцию, понизив степени тригонометрических функций. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла:
y=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x=1−12(4sin⁡2xcos⁡2x)⋅12=1−12sin⁡22xy = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2xПрименим формулу понижения степени для sin⁡22x\sin^2 2x:y=1−12(1−cos⁡4x2)=1−14+14cos⁡4x=34+14cos⁡4xy = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4xПри вычислении nn-й производной (n≥1n \ge 1) константа 34\frac{3}{4} обращается в нуль. Применяя стандартную формулу nn-й производной косинуса (cos⁡kx)(n)=kncos⁡(kx+πn2)(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right), получаем:y(n)=14⋅4ncos⁡(4x+πn2)=4n−1cos⁡(4x+πn2)y^{(n)} = \frac{1}{4} \cdot 4^n \cos\left(4x + \frac{\pi n}{2}\right) = 4^{n-1} \cos\left(4x + \frac{\pi n}{2}\right)