Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1201

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

Задача 1201

y=\sin^4x+\cos^4x

Решение

Сначала преобразуем функцию, понизив степени тригонометрических функций. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла:

y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x

Применим формулу понижения степени для

\sin^2 2x

y = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x

При вычислении

n

-й производной (

n \ge 1

) константа

\frac{3}{4}

обращается в нуль. Применяя стандартную формулу

n

-й производной косинуса

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

, получаем:

y^{(n)} = \frac{1}{4} \cdot 4^n \cos\left(4x + \frac{\pi n}{2}\right) = 4^{n-1} \cos\left(4x + \frac{\pi n}{2}\right)