Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1205

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\frac{e^x}{x}

Решение

Представим функцию в виде произведения

y = e^x \cdot x^{-1}

и воспользуемся формулой Лейбница:

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^{-1})^{(k)} (e^x)^{(n-k)}

Так как любая производная от

e^x

равна

e^x

, а

k

-я производная от

x^{-1}

равна

(-1)^k k! x^{-k-1}

, имеем:

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k k! x^{-k-1} e^x

Распишем биномиальный коэффициент

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

и подставим его в сумму:

y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^k k! x^{-k-1} = e^x \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} x^{-k-1}

Или в более компактном виде:

y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{(n-k)! x^{k+1}}

Проверка

Формулы действуют при

x\ne0