Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1163

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x\ln x;

найти

y^{(5)}

Решение

Идея

Найдём первые несколько производных функции последовательным дифференцированием:

y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

y'' = \frac{1}{x} = x^{-1}

Так как вторая производная представляет собой степенную функцию, дальнейшее дифференцирование выполняется по правилу дифференцирования степени:

y''' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

y^{(4)} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}

y^{(5)} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}