Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1165

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x^2\sin 2x;

найти

y^{(50)}

Решение

Идея

Применим формулу Лейбница для произведения

u = x^2

v = \sin 2x

.
Так как

u = x^2

— многочлен второй степени, отличными от нуля будут только первые три производные:

u^{(0)} = x^2, \quad u^{(1)} = 2x, \quad u^{(2)} = 2, \quad u^{(k)} = 0 \text{ при } k \ge 3

Для функции

v = \sin 2x

производная

n

-го порядка вычисляется по формуле:

v^{(n)} = 2^n \sin\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right)

Найдём нужные нам производные функции

v

\begin{aligned}v^{(50)} &= 2^{50} \sin\left(2x + 25\pi\right) = 2^{50} \sin(2x + \pi) = -2^{50} \sin 2x \\v^{(49)} &= 2^{49} \sin\left(2x + \frac{49\pi}{2}\right) = 2^{49} \sin\left(2x + 24\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 2^{49} \cos 2x \\v^{(48)} &= 2^{48} \sin\left(2x + 24\pi\right) = 2^{48} \sin 2x\end{aligned}

Разложение по формуле Лейбница примет вид:

y^{(50)} = \binom{50}{0} u^{(0)} v^{(50)} + \binom{50}{1} u^{(1)} v^{(49)} + \binom{50}{2} u^{(2)} v^{(48)}

Подставим вычисленные компоненты:

y^{(50)} = 1 \cdot x^2 \cdot (-2^{50} \sin 2x) + 50 \cdot 2x \cdot (2^{49} \cos 2x) + \frac{50 \cdot 49}{2} \cdot 2 \cdot (2^{48} \sin 2x)

Вынесем общий множитель

2^{49}

y^{(50)} = 2^{49} \left( -2x^2 \sin 2x + 100x \cos 2x + 1225 \sin 2x \right)

Окончательно перегруппируем:

y^{(50)} = 2^{49} \Big( (1225 - 2x^2)\sin 2x + 100x\cos 2x \Big)