Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1207

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=e^x\sin x

Решение

Рассуждения аналогичны предыдущему примеру. Найдём первую производную:

y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)

Преобразуем выражение в скобках, умножив и разделив на

\sqrt{2}

y' = \sqrt{2} e^x \left( \sin x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} e^x \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^x \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Здесь также каждое дифференцирование умножает результат на

\sqrt{2}

и увеличивает аргумент синуса на

\frac{\pi}{4}

. Следовательно,

n

-я производная равна:

y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \sin\left(x + \frac{\pi n}{4}\right) = 2^{n/2} e^x \sin\left(x + \frac{\pi n}{4}\right)