Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1207

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=e^x\sin x

Решение

Рассуждения аналогичны предыдущему примеру. Найдём первую производную:

y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)

Преобразуем выражение в скобках, умножив и разделив на

\sqrt{2}

y' = \sqrt{2} e^x \left( \sin x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} e^x \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} e^x \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Для произвольного постоянного

\beta

(e^x\sin(x+\beta))'=e^x(\sin(x+\beta)+\cos(x+\beta)) =\sqrt2e^x\sin(x+\beta+\pi/4).

Это обосновывает индукционный переход от коэффициента

(\sqrt2)^n

и сдвига

n\pi/4

(\sqrt2)^{n+1}

(n+1)\pi/4

. Следовательно,

y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \sin\left(x + \frac{\pi n}{4}\right) = 2^{n/2} e^x \sin\left(x + \frac{\pi n}{4}\right)