Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1190

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\frac1{x^2-3x+2}

Решение

Разложим знаменатель дроби на множители:

x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)

Представим функцию в виде суммы простейших дробей методом неопределённых коэффициентов:

y = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} = (x-2)^{-1} - (x-1)^{-1}

Воспользуемся известной формулой для

n

-й производной функции вида

(x-a)^{-1}

\left( (x-a)^{-1} \right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}

Применим эту формулу к каждому слагаемому:

y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}} \right)

Проверка

Формулы действуют при

x\notin\{1,2\}