Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1204

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=(x^2+2x+2)e^{-x}

Решение

Применим формулу Лейбница к функциям

u = x^2+2x+2

v = e^{-x}

.
Производные

k

-го порядка функции

v

равны

v^{(k)} = (-1)^k e^{-x}

.
Производные функции

u

u^{(0)} = x^2+2x+2

u^{(1)} = 2x+2

u^{(2)} = 2

u^{(k)} = 0

при

k \ge 3

.
При

n\geqslant2

разложение содержит три слагаемых:

y^{(n)} = (x^2+2x+2) v^{(n)} + n(2x+2) v^{(n-1)} + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot v^{(n-2)}

Подставим производные функции

v

y^{(n)} = (x^2+2x+2)(-1)^n e^{-x} + n(2x+2)(-1)^{n-1} e^{-x} + n(n-1)(-1)^{n-2} e^{-x}

Вынесем общий множитель

(-1)^n e^{-x}

, учитывая, что

(-1)^{n-1} = -(-1)^n

(-1)^{n-2} = (-1)^n

y^{(n)} = (-1)^n e^{-x} \Big( x^2 + 2x + 2 - n(2x+2) + n(n-1) \Big)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в квадратных скобках:

x^2 + 2x - 2nx + 2 - 2n + n^2 - n = x^2 - 2x(n-1) + n^2 - 3n + 2

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители:

n^2-3n+2=(n-1)(n-2)

.
Окончательно получаем:

y^{(n)} = (-1)^n e^{-x} \left[ x^2 - 2(n-1)x + (n-1)(n-2) \right]

Проверка

Для

n=1

вычисление отдельно даёт

y'=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x+2)e^{-x}=-x^2e^{-x}.

Окончательная формула при

n=1

даёт то же значение. Значит, она верна для всех натуральных

n