Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1168

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=x\operatorname{sh}x;

найти

y^{(100)}

Решение

Воспользуемся формулой Лейбница для произведения функций

u = x

v = \operatorname{sh}x

.
Поскольку

u = x

— многочлен первой степени, отличны от нуля только первые две его производные:

u^{(0)} = x

u^{(1)} = 1

.
Поэтому сумма Лейбница сокращается до двух слагаемых:

y^{(100)} = \binom{100}{0} x (\operatorname{sh}x)^{(100)} + \binom{100}{1} \cdot 1 \cdot (\operatorname{sh}x)^{(99)}

Вспомним производные гиперболического синуса:

(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x, \quad (\operatorname{sh}x)'' = \operatorname{sh}x

Следовательно, производные чётного порядка совпадают с

\operatorname{sh}x

, а нечётного — с

\operatorname{ch}x

.
Для наших порядков:

(\operatorname{sh}x)^{(100)} = \operatorname{sh}x, \qquad (\operatorname{sh}x)^{(99)} = \operatorname{ch}x

Подставляя в формулу, получаем ответ:

y^{(100)} = x \operatorname{sh}x + 100 \operatorname{ch}x