Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1174

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=e^x\ln x;

найти

d^4y

Решение

Идея

Воспользуемся формулой Лейбница для

u = e^x

v = \ln x

. Так как

(e^x)^{(k)} = e^x

для любого

k

, формула упрощается:

y^{(4)} = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (e^x)^{(4-k)} (\ln x)^{(k)} = e^x \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (\ln x)^{(k)}

Выпишем производные логарифма до четвёртого порядка:

v^{(0)} = \ln x

v^{(1)} = \frac{1}{x}

v^{(2)} = -\frac{1}{x^2}

v^{(3)} = \frac{2}{x^3}

v^{(4)} = -\frac{6}{x^4}

Подставим эти производные в разложение с соответствующими биномиальными коэффициентами:

y^{(4)} = e^x \left( 1 \cdot \ln x + 4 \cdot \frac{1}{x} + 6 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + 4 \cdot \frac{2}{x^3} + 1 \cdot \left(-\frac{6}{x^4}\right) \right)

y^{(4)} = e^x \left( \ln x + \frac{4}{x} - \frac{6}{x^2} + \frac{8}{x^3} - \frac{6}{x^4} \right)

Дифференциал четвёртого порядка:

d^4y = e^x \left( \ln x + \frac{4}{x} - \frac{6}{x^2} + \frac{8}{x^3} - \frac{6}{x^4} \right) dx^4