Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1169

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=e^x\cos x;

найти

y^{\mathrm{IV}}

Решение

Найдём производные функции последовательно:

y' = (e^x \cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)

y'' = (e^x(\cos x - \sin x))' = e^x(\cos x - \sin x) + e^x(-\sin x - \cos x) = -2e^x \sin x

y''' = (-2e^x \sin x)' = -2e^x \sin x - 2e^x \cos x = -2e^x(\sin x + \cos x)

y^{\mathrm{IV}} = (-2e^x(\sin x + \cos x))' = -2e^x(\sin x + \cos x) - 2e^x(\cos x - \sin x) = -4e^x \cos x

Примечание: данный результат также можно быстро получить, записав

y

как действительную часть комплексной функции

e^{(1+i)x}

, тогда

y^{(4)} = \operatorname{Re}\left( (1+i)^4 e^{(1+i)x} \right) = \operatorname{Re}\left( -4 e^x e^{ix} \right) = -4e^x \cos x