Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1182

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что функция

y=C_1\operatorname{ch}x+C_2\operatorname{sh}x

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

y''-y=0.

Решение

Найдём первую производную, учитывая, что

(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x

(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x

y' = C_1\operatorname{sh}x + C_2\operatorname{ch}x

Найдём вторую производную

y'' = C_1\operatorname{ch}x + C_2\operatorname{sh}x

Полученное выражение полностью совпадает с исходной функцией, то есть

y'' = y

. Перенося

y

в левую часть, приходим к требуемому тождеству

y'' - y = 0