Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1185

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1185

Показать, что функцияy=ex2(C1cos⁡x2+C2sin⁡x2)+e−x2(C3cos⁡x2+C4sin⁡x2)y=e^{\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_1\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_2\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)
+e^{-\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_3\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_4\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)где C1,C2,C3,C4C_1,C_2,C_3,C_4 — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнениюy(4)+y=0.y^{(4)}+y=0.

Решение

Для удобства введём параметр a=12a = \frac{1}{\sqrt{2}}. Тогда 2a2=12a^2 = 1 и a4=14a^4 = \frac{1}{4}. Функция является линейной комбинацией четырёх функцийy1=eaxcos⁡ax,y2=eaxsin⁡ax,y3=e−axcos⁡ax,y4=e−axsin⁡axy_1 = e^{ax}\cos ax, \qquad y_2 = e^{ax}\sin ax, \qquad y_3 = e^{-ax}\cos ax, \qquad y_4 = e^{-ax}\sin axПокажем, что y1y_1 удовлетворяет уравнению yIV+y=0y^{\mathrm{IV}} + y = 0. Дифференцируемy1′=aeax(cos⁡ax−sin⁡ax)y_1' = a e^{ax}(\cos ax - \sin ax)y1′′=a2eax(cos⁡ax−sin⁡ax−sin⁡ax−cos⁡ax)=−2a2eaxsin⁡axy_1'' = a^2 e^{ax}(\cos ax - \sin ax - \sin ax - \cos ax) = -2a^2 e^{ax}\sin axТак как 2a2=12a^2 = 1, получаем y1′′=−eaxsin⁡ax=−y2y_1'' = -e^{ax}\sin ax = -y_2. Дифференцируем далееy1′′′=−y2′=−aeax(sin⁡ax+cos⁡ax)y_1''' = -y_2' = -a e^{ax}(\sin ax + \cos ax)y1IV=−a2eax(sin⁡ax+cos⁡ax+cos⁡ax−sin⁡ax)=−2a2eaxcos⁡axy_1^{\mathrm{IV}} = -a^2 e^{ax}(\sin ax + \cos ax + \cos ax - \sin ax) = -2a^2 e^{ax}\cos axВ силу 2a2=12a^2 = 1 имеем y1IV=−eaxcos⁡ax=−y1y_1^{\mathrm{IV}} = -e^{ax}\cos ax = -y_1. Следовательно, y1IV+y1=0y_1^{\mathrm{IV}} + y_1 = 0.
Проведём аналогичные вычисления для y2y_2y2′=aeax(sin⁡ax+cos⁡ax)y_2' = a e^{ax}(\sin ax + \cos ax)y2′′=a2eax(sin⁡ax+cos⁡ax+cos⁡ax−sin⁡ax)=2a2eaxcos⁡ax=eaxcos⁡ax=y1y_2'' = a^2 e^{ax}(\sin ax + \cos ax + \cos ax - \sin ax) = 2a^2 e^{ax}\cos ax = e^{ax}\cos ax = y_1Четвёртая производная y2y_2 будет равна второй производной y1y_1y2IV=y1′′=−y2y_2^{\mathrm{IV}} = y_1'' = -y_2Следовательно, y2IV+y2=0y_2^{\mathrm{IV}} + y_2 = 0.

Заметим, что y3(x)=y1(−x)y_3(x) = y_1(-x). По правилу дифференцирования сложной функцииy3IV(x)=d4dx4y1(−x)=(−1)4y1IV(−x)=−y1(−x)=−y3(x)y_3^{\mathrm{IV}}(x) = \frac{d^4}{dx^4} y_1(-x) = (-1)^4 y_1^{\mathrm{IV}}(-x) = -y_1(-x) = -y_3(x)Поэтому y3IV+y3=0y_3^{\mathrm{IV}} + y_3 = 0.
Точно так же, поскольку y4(x)=−y2(−x)y_4(x) = -y_2(-x), получаемy4IV(x)=d4dx4(−y2(−x))=−(−1)4y2IV(−x)=−(−y2(−x))=−y4(x)y_4^{\mathrm{IV}}(x) = \frac{d^4}{dx^4} (-y_2(-x)) = -(-1)^4 y_2^{\mathrm{IV}}(-x) = -(-y_2(-x)) = -y_4(x)То есть y4IV+y4=0y_4^{\mathrm{IV}} + y_4 = 0.
Для y=C1y1+C2y2+C3y3+C4y4y=C_1y_1+C_2y_2+C_3y_3+C_4y_4 по правилам дифференцирования конечной суммыy(4)+y=∑j=14Cj(yj(4)+yj)=∑j=14Cj⋅0=0.y^{(4)}+y=\sum_{j=1}^4C_j\bigl(y_j^{(4)}+y_j\bigr)=\sum_{j=1}^4C_j\cdot0=0.Это доказывает утверждение для любых заданных постоянных.
Демидович № 1185 — решение | Высшая математика — Профиматика