Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1162

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\frac{e^x}{x};

найти

y^{(10)}

Решение

Идея

Представим функцию в виде произведения

y = e^x \cdot x^{-1}

и применим формулу Лейбница. Положим

u = e^x

v = x^{-1}

. Производные этих функций равны

u^{(n-k)} = e^x, \qquad v^{(k)} = (-1)^k k! x^{-k-1}

Применим формулу Лейбница

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} v^{(k)} u^{(n-k)} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^k k! x^{-k-1} e^x

Упростим выражение

y^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{(n-k)! x^{k+1}}

Для

n = 10

получаем

y^{(10)} = e^x \sum_{k=0}^{10} (-1)^k \frac{10!}{(10-k)! x^{k+1}}