Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1187

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

P^{(n)}(x)

, если

P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n.

Решение

Идея

Известно, что производная суммы равна сумме производных. Применим операцию дифференцирования

n

раз к каждому слагаемому многочлена.

Рассмотрим производную

n

-го порядка от степенной функции

x^k

. Если

k < n

, то после

k

дифференцирований мы получим константу, а при последующих дифференцированиях — ноль. То есть:

(x^k)^{(n)} = 0 \quad \text{при } k < n

Таким образом, производные

n

-го порядка от всех слагаемых

a_1x^{n-1}, a_2x^{n-2}, \dots, a_n

обращаются в нуль.

Проверка

Единственное слагаемое, которое не обратится в нуль, это старший член

a_0x^n

. Найдём его

n

-ю производную последовательно дифференцируя:

(x^n)' = nx^{n-1}

(x^n)'' = n(n-1)x^{n-2}

\dots

(x^n)^{(n)} = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!

Отсюда получаем искомую производную многочлена:

P^{(n)}(x) = (a_0x^n)^{(n)} + (a_1x^{n-1})^{(n)} + \cdots + (a_n)^{(n)} = a_0 \cdot n! + 0 + \cdots + 0 = a_0 n!