Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1166

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\frac{\cos 3x}{\sqrt[3]{1-3x}};

найти

y'''

Решение

Идея

Представим функцию в виде произведения

y = u \cdot v

, где

u = \cos 3x

v = (1-3x)^{-1/3}

. Найдём первые три производные каждого сомножителя:

\begin{aligned}u^{(0)} &= \cos 3x \\u^{(1)} &= -3\sin 3x \\u^{(2)} &= -9\cos 3x \\u^{(3)} &= 27\sin 3x\end{aligned}

Для

v = (1-3x)^{-1/3}

, помня о множителе

(-3)

от внутренней функции:

\begin{aligned}v^{(0)} &= (1-3x)^{-1/3} \\v^{(1)} &= -\frac{1}{3}(1-3x)^{-4/3} \cdot (-3) = (1-3x)^{-4/3} \\v^{(2)} &= -\frac{4}{3}(1-3x)^{-7/3} \cdot (-3) = 4(1-3x)^{-7/3} \\v^{(3)} &= 4\left(-\frac{7}{3}\right)(1-3x)^{-10/3} \cdot (-3) = 28(1-3x)^{-10/3}\end{aligned}

Воспользуемся формулой Лейбница для третьей производной

y''' = u^{(3)}v + 3u^{(2)}v^{(1)} + 3u^{(1)}v^{(2)} + u v^{(3)}

\begin{aligned}y''' &= (27\sin 3x)(1-3x)^{-1/3} + 3(-9\cos 3x)(1-3x)^{-4/3} \\&\quad + 3(-3\sin 3x) \cdot 4(1-3x)^{-7/3} + (\cos 3x) \cdot 28(1-3x)^{-10/3}\end{aligned}

Приведём слагаемые к общему знаменателю

(1-3x)^{10/3}

y''' = \frac{27(1-3x)^3 \sin 3x - 27(1-3x)^2 \cos 3x - 36(1-3x) \sin 3x + 28 \cos 3x}{(1-3x)^{10/3}}

Сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом:

y''' = \frac{9(1-3x)\big(3(1-3x)^2 - 4\big)}{(1-3x)^{10/3}} \sin 3x + \frac{28 - 27(1-3x)^2}{(1-3x)^{10/3}} \cos 3x