Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1186

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если функция

f(x)

имеет производную

n

-го порядка, то

[f(ax+b)]^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b).

Доказательство

Идея

Проведём доказательство методом математической индукции.

1
База индукции
При $n=1$ , используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $[f(ax+b)]' = f'(ax+b) \cdot (ax+b)' = a f'(ax+b)$ Формула верна.
2
Индукционный переход
Предположим, что формула справедлива для некоторого натурального $k$ : $[f(ax+b)]^{(k)} = a^k f^{(k)}(ax+b)$ Докажем её справедливость для $n = k+1$ . Продифференцируем выражение $k$ -го порядка ещё раз: $[f(ax+b)]^{(k+1)} = \left( a^k f^{(k)}(ax+b) \right)' = a^k \cdot \left( f^{(k)}(ax+b) \right)' =$ $= a^k \cdot f^{(k+1)}(ax+b) \cdot (ax+b)' = a^k \cdot f^{(k+1)}(ax+b) \cdot a = a^{k+1} f^{(k+1)}(ax+b)$ Формула верна для $n = k+1$ .

Проверка

Согласно принципу математической индукции, исходная формула справедлива для любого натурального

n

. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать