Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1184

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1184

Показать, что функцияy=xn[C1cos⁡(ln⁡x)+C2sin⁡(ln⁡x)]y=x^n[C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)]где C1,C2C_1,C_2 — произвольные постоянные, а nn — постоянная, удовлетворяет уравнениюx2y′′+(1−2n)xy′+(1+n2)y=0.x^2y''+(1-2n)xy'+(1+n^2)y=0.

Решение

Обозначим L[y]=x2y′′+(1−2n)xy′+(1+n2)yL[y]=x^2y''+(1-2n)xy'+(1+n^2)y. Правила дифференцирования суммы и постоянного множителя дают L[C1y1+C2y2]=C1L[y1]+C2L[y2]L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]. Поэтому достаточно показать, что функции y1=xncos⁡(ln⁡x)y_1 = x^n\cos(\ln x) и y2=xnsin⁡(ln⁡x)y_2 = x^n\sin(\ln x) являются его частными решениями.
Для функции y1y_1 находим первую производнуюy1′=nxn−1cos⁡(ln⁡x)−xn−1sin⁡(ln⁡x)=xn−1(ncos⁡(ln⁡x)−sin⁡(ln⁡x))y_1' = nx^{n-1}\cos(\ln x) - x^{n-1}\sin(\ln x) = x^{n-1}(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x))Найдём вторую производную y1′′y_1''y1′′=(n−1)xn−2(ncos⁡(ln⁡x)−sin⁡(ln⁡x))+xn−1(−nsin⁡(ln⁡x)1x−cos⁡(ln⁡x)1x)y_1'' = (n-1)x^{n-2}(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x)) + x^{n-1}\left(-n\sin(\ln x)\frac{1}{x} - \cos(\ln x)\frac{1}{x}\right)y1′′=xn−2((n2−n)cos⁡(ln⁡x)−(n−1)sin⁡(ln⁡x)−nsin⁡(ln⁡x)−cos⁡(ln⁡x))y_1'' = x^{n-2}\big((n^2-n)\cos(\ln x) - (n-1)\sin(\ln x) - n\sin(\ln x) - \cos(\ln x)\big)y1′′=xn−2((n2−n−1)cos⁡(ln⁡x)−(2n−1)sin⁡(ln⁡x))y_1'' = x^{n-2}\big((n^2-n-1)\cos(\ln x) - (2n-1)\sin(\ln x)\big)Подставим y1y_1, y1′y_1' и y1′′y_1'' в левую часть уравнения x2y′′+(1−2n)xy′+(1+n2)yx^2y''+(1-2n)xy'+(1+n^2)yxn((n2−n−1)cos⁡(ln⁡x)−(2n−1)sin⁡(ln⁡x))+(1−2n)xn(ncos⁡(ln⁡x)−sin⁡(ln⁡x))+(1+n2)xncos⁡(ln⁡x)x^n\big((n^2-n-1)\cos(\ln x) - (2n-1)\sin(\ln x)\big) + (1-2n)x^n(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x)) + (1+n^2)x^n\cos(\ln x)Сгруппируем коэффициенты при xncos⁡(ln⁡x)x^n\cos(\ln x) и xnsin⁡(ln⁡x)x^n\sin(\ln x)xncos⁡(ln⁡x)(n2−n−1+n−2n2+1+n2)+xnsin⁡(ln⁡x)(−2n+1−1+2n)x^n\cos(\ln x)\big(n^2-n-1 + n - 2n^2 + 1 + n^2\big) + x^n\sin(\ln x)\big(-2n+1 - 1 + 2n\big)Так как выражения в обеих скобках равны нулю, y1y_1 является решением.
Аналогично для функции y2y_2 находим первую производнуюy2′=nxn−1sin⁡(ln⁡x)+xn−1cos⁡(ln⁡x)=xn−1(nsin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x))y_2' = nx^{n-1}\sin(\ln x) + x^{n-1}\cos(\ln x) = x^{n-1}(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x))Вторая производная y2′′y_2''y2′′=(n−1)xn−2(nsin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x))+xn−1(ncos⁡(ln⁡x)1x−sin⁡(ln⁡x)1x)y_2'' = (n-1)x^{n-2}(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x)) + x^{n-1}\left(n\cos(\ln x)\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\frac{1}{x}\right)y2′′=xn−2((n2−n−1)sin⁡(ln⁡x)+(2n−1)cos⁡(ln⁡x))y_2'' = x^{n-2}\big((n^2-n-1)\sin(\ln x) + (2n-1)\cos(\ln x)\big)Подставим в уравнениеxn((n2−n−1)sin⁡(ln⁡x)+(2n−1)cos⁡(ln⁡x))+(1−2n)xn(nsin⁡(ln⁡x)+cos⁡(ln⁡x))+(1+n2)xnsin⁡(ln⁡x)x^n\big((n^2-n-1)\sin(\ln x) + (2n-1)\cos(\ln x)\big) + (1-2n)x^n(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x)) + (1+n^2)x^n\sin(\ln x)xnsin⁡(ln⁡x)(n2−n−1+n−2n2+1+n2)+xncos⁡(ln⁡x)(2n−1+1−2n)=0x^n\sin(\ln x)\big(n^2-n-1 + n - 2n^2 + 1 + n^2\big) + x^n\cos(\ln x)\big(2n-1 + 1 - 2n\big) = 0Функция y2y_2 также является решением. Любая линейная комбинация этих решений y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2 удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Проверка

Все вычисления проводятся при x>0x>0, где определён ln⁡x\ln x.
Демидович № 1184 — решение | Высшая математика — Профиматика