Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1184

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=x^n[C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)]

Решение

Идея

В силу линейности заданного дифференциального уравнения достаточно показать, что функции

y_1 = x^n\cos(\ln x)

y_2 = x^n\sin(\ln x)

являются его частными решениями.
Для функции

y_1

находим первую производную

y_1' = nx^{n-1}\cos(\ln x) - x^{n-1}\sin(\ln x) = x^{n-1}(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x))

Найдём вторую производную

y_1''

y_1'' = (n-1)x^{n-2}(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x)) + x^{n-1}\left(-n\sin(\ln x)\frac{1}{x} - \cos(\ln x)\frac{1}{x}\right)

y_1'' = x^{n-2}\big((n^2-n)\cos(\ln x) - (n-1)\sin(\ln x) - n\sin(\ln x) - \cos(\ln x)\big)

y_1'' = x^{n-2}\big((n^2-n-1)\cos(\ln x) - (2n-1)\sin(\ln x)\big)

Подставим

y_1

y_1'

y_1''

в левую часть уравнения

x^2y''+(1-2n)xy'+(1+n^2)y

x^n\big((n^2-n-1)\cos(\ln x) - (2n-1)\sin(\ln x)\big) + (1-2n)x^n(n\cos(\ln x) - \sin(\ln x)) + (1+n^2)x^n\cos(\ln x)

Сгруппируем коэффициенты при

x^n\cos(\ln x)

x^n\sin(\ln x)

x^n\cos(\ln x)\big(n^2-n-1 + n - 2n^2 + 1 + n^2\big) + x^n\sin(\ln x)\big(-2n+1 - 1 + 2n\big)

Так как выражения в обеих скобках равны нулю,

y_1

является решением.

Аналогично для функции

y_2

находим первую производную

y_2' = nx^{n-1}\sin(\ln x) + x^{n-1}\cos(\ln x) = x^{n-1}(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x))

Вторая производная

y_2''

y_2'' = (n-1)x^{n-2}(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x)) + x^{n-1}\left(n\cos(\ln x)\frac{1}{x} - \sin(\ln x)\frac{1}{x}\right)

y_2'' = x^{n-2}\big((n^2-n-1)\sin(\ln x) + (2n-1)\cos(\ln x)\big)

Подставим в уравнение

x^n\big((n^2-n-1)\sin(\ln x) + (2n-1)\cos(\ln x)\big) + (1-2n)x^n(n\sin(\ln x) + \cos(\ln x)) + (1+n^2)x^n\sin(\ln x)

x^n\sin(\ln x)\big(n^2-n-1 + n - 2n^2 + 1 + n^2\big) + x^n\cos(\ln x)\big(2n-1 + 1 - 2n\big) = 0

Функция

y_2

также является решением. Любая линейная комбинация этих решений

y=C_1y_1+C_2y_2

удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.