Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1194

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=\cos^2x

Решение

Используем формулу понижения степени для косинуса:

y = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x

При вычислении

n

-й производной (

n \ge 1

) производная постоянной

\frac{1}{2}

равна нулю. Остаётся найти

n

-ю производную функции

\cos 2x

.
Используя стандартную формулу

(\cos kx)^{(n)} = k^n \cos\left(kx + \frac{\pi n}{2}\right)

, получаем:

(\cos 2x)^{(n)} = 2^n \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right)

Подставим это в выражение для функции:

y^{(n)} = \frac{1}{2} \cdot 2^n \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right) = 2^{n-1} \cos\left(2x + \frac{\pi n}{2}\right)