Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1172

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Считая

x

независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка:

y=\frac1{\sqrt{x}};

найти

d^3y

Решение

Запишем функцию в виде

y = x^{-1/2}

и найдём её третью производную:

y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2}

y'' = \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2} = \frac{3}{4}x^{-5/2}

y''' = \frac{3}{4} \left(-\frac{5}{2}\right)x^{-7/2} = -\frac{15}{8}x^{-7/2} = -\frac{15}{8x^3\sqrt{x}}

Дифференциал третьего порядка равен:

d^3y = y''' dx^3 = -\frac{15}{8x^3\sqrt{x}} \, dx^3

Проверка

Формулы применяются при

x>0