Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1210

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y^{(n)}

, если:

y=x\operatorname{sh}x

Решение

Воспользуемся формулой Лейбница для произведения функций

u = x

v = \operatorname{sh}x

.
Поскольку

u = x

— многочлен первой степени, его производные порядка выше первого равны нулю (

u^{(0)} = x

u^{(1)} = 1

u^{(k)} = 0

при

k \ge 2

). Формула Лейбница сокращается до двух слагаемых:

y^{(n)} = x (\operatorname{sh}x)^{(n)} + n \cdot 1 \cdot (\operatorname{sh}x)^{(n-1)}

Вспомним, что производные гиперболического синуса чередуются в зависимости от чётности порядка:

(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x, \quad (\operatorname{sh}x)'' = \operatorname{sh}x, \quad (\operatorname{sh}x)''' = \operatorname{ch}x \quad \text{и т. д.}

То есть:
- для чётного порядка

2k

(\operatorname{sh}x)^{(2k)} = \operatorname{sh}x

- для нечётного порядка

2k+1

(\operatorname{sh}x)^{(2k+1)} = \operatorname{ch}x

Рассмотрим два случая:

Если

n = 2k

(чётное):
Тогда

(\operatorname{sh}x)^{(n)} = \operatorname{sh}x

, а

(\operatorname{sh}x)^{(n-1)} = \operatorname{ch}x

y^{(2k)} = x \operatorname{sh}x + 2k \operatorname{ch}x

Если

n = 2k+1

(нечётное):
Тогда

(\operatorname{sh}x)^{(n)} = \operatorname{ch}x

, а

(\operatorname{sh}x)^{(n-1)} = \operatorname{sh}x

y^{(2k+1)} = x \operatorname{ch}x + (2k+1) \operatorname{sh}x

Оба случая можно объединить в одну запись, например, через экспоненты, либо оставить в виде системы:

y^{(n)} =\begin{cases}x \operatorname{sh}x + n \operatorname{ch}x, & \text{если } n \text{ чётно}, \\x \operatorname{ch}x + n \operatorname{sh}x, & \text{если } n \text{ нечётно}.\end{cases}